Topologie ist ein relativ junges mathematisches Gebiet. Sie entstand etwa in der Mitgggte des 19. Jahrhunderts aus der komplexen Analysis und aus dem Versuch, Geometrie auf ein neues Fundament zu stellen (B. Riemann). Der wichtigste Begriff der Topologie ist der der Mannigfaltigkeit. Das ist grob gesprochen eine Menge mit der Eigenschaft, daß sie in der Nähe eines beliebigen Punktes wie eine Kugel im n-dimensionalen Euklidischen Raum aussieht. Am besten macht man sich diesen Begriff am Beispiel des Kosmos klar: Man stelle sich vor, man könne mit einem Raumschiff an eine beliebige Stelle des Kosmos fahren. Wenn man sich dort umschaut, erhält man den Eindruck, sich im Mittelpunkt einer großen Kugel zu befinden. Also ist es eine plausible Annahme, daß der Kosmos mathematisch durch eine 3-dimensionale Mannigfaltigkeit beschrieben wird, eine Annahme, die auch der Einsteinschen Relativitätstheorie zugrunde liegt. Wenn man den Zeitparameter noch dazu nimmt, erhält man eine 4-dimensionale Mannigfaltigkeit, Raum-Zeit genannt.

Ein Beispiel für eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit ist die Erdoberfläche: Wo immer wir uns auf der Erde hinstellen, wir haben den Eindruck in der Mitte einer Scheibe (= 2-dimensionalen Kugel) zu stehen. Andere Beispiele von 2-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, die man auch Flächen nennt, erhält man durch die Oberfläche eines festen Körpers, z.B. eines Ringes, die man Torus nennt (vgl. Abb. 1). Ein weiteres Beispiel ist das Möbiusband (vgl. Abb. 2).

…Als relativ junge Disziplin hat die Topologie die Möglichkeit, etablierte Methoden aus anderen Bereichen der Mathematik, insbesondere der Analysis, Algebra und algebraischer Geometrie, zu verwenden, von der sie reichlich Gebrauch macht. Es gibt eine Reihe von Querverbindungen zur theoretischen Physik, die gerade in den letzten Jahren besonders belebt wurden.