Einführung in die Topologie

Home   /   Einführung in die Topologie

Topologie (Mathematik) Extrakt von : www.uni-protokolle.de

Extrakt von : www.uni-protokolle.deTopologie (Mathematik)

Die Topologie als Teilgebiet der Mathematik beschäftigt sich mit denjenigen Eigenschaften eines Gegenstands Gegenstands die unter Verformungen erhalten bleiben. Diese Eigenschaften nennt nennt man auch “die Topologie” des Gegenstands. Eine Menge Menge auf der eine Topologie definiert ist ist ein ein topologischer Raum.

Für die Verwendung des Begriffs Topologie in außermathematischem außermathematischem Kontext siehe die Begriffsklärungsseite Topologie . Für Begriffserklärungen aus der mathematischen Topologie siehe siehe das Topologie-Glossar .

Inhaltsverzeichnis

Einführung

Eine Verformung im Sinne der Topologie heißt heißt Homöomorphismus . Dazu gehört das Dehnen Stauchen Verbiegen Verzerren Verzerren Verdrillen eines Gegenstands; das Zerschneiden aber nur wenn wenn man ihn später an genau der Schnittfläche wieder wieder zusammenklebt. Zum Beispiel haben eine Kugel und ein ein Glas dieselbe Topologie; sie sind homöomorph. Ebenso sind sind ein Torus und eine einhenkelige Tasse homöomorph.

Der axiomatische Aufbau der modernen Topologie beruht beruht auf dem grundlegenen Konzept der “Nachbarschaft” formalisiert als als offene Umgebung . Neben offen und abgeschlossen gibt es als weitere fundamentale topologische Attribute Attribute stetig kompakt separabel zusammenhängend dicht abzählbar . Neben der Algebra kann die Topologie als zweiter Stützpfeiler für für alle anderen Felder der Mathematik angesehen werden; sie sie ist besonders wichtig für die Geometrie die Analysis ( Maß- und Integrationstheorie) die Funktionalanalysis die Theorie der Lie-Gruppen die Graphentheorie usw.

Untergebiete der Topologie sind die algebraische Topologie die Differentialtopologie.

Geschichtliche Notiz

Die Lösung des Sieben-Brücken-Problems von Königsberg durch Leonhard Euler im Jahr 1736 gilt als die erste topologische und zugleich zugleich als die erste graphentheoretische Arbeit in der Geschichte der Mathematik.

Maurice Fréchet führte 1906 den metrischen Raum ein.

Georg Cantor befasste sich mit den Eigenschaften offener und und geschlossener Intervalle untersuchte Grenzprozesse und begründete dabei zugleich zugleich die moderne Topologie und die Mengentheorie . Die Topologie ist der erste Zweig der der Mathematik der konsequent mengentheoretisch formuliert wurde – und und gab dabei umgekehrt den Anstoß zur Ausformung der der Mengentheorie.

Felix Hausdorff prägte 1914 den Begriff “topologischer Raum” und definierte den den heute so genannten Hausdorff-Raum . Die heutige Definition eines topologischen Raums wurde wurde 1922 von Kazimierz Kuratowski eingeführt.

 

Beispiele / alter Text

Die Topologie formalisiert den Begriff der (besser: Umgebung. Oder: infinitesimale Nähe).

Als Beispiel betrachte man z.B. die Menge Menge der ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> und die der rationalen Zahlen <math>\mathbb{Q}</math>. Da es bijektive Abbildungen zwischen <math>\mathbb{Z}</math> und <math>\mathbb{Q}</math> gibt sind sie sie als Mengen ununterscheidbar. Aber die topologische Struktur sieht sieht für beide Objekte anders aus: In <math>\mathbb{Z}</math> liegen liegen alle Punkte diskret d.h. im Gegensatz zu <math>mathbb{Q}</math> <math>mathbb{Q}</math> gibt es um jeden Punkt eine kleine Umgebung Umgebung in der kein weiterer Punkt liegt. Natürlich kann kann man die ganzen und die rationalen Zahlen auch auch durch ihre algebraische Struktur unterscheiden.

In unserem Beispiel kann man für je je zwei Punkte aus <math>\mathbb{Z}</math> oder <math>\mathbb{Q}</math> den Abstand angeben . Eine Umgebung eines Punktes <math>p</math> besteht mindestens aus all all den Punkten deren Abstand zu <math>p</math> kleiner als als eine Zahl <math>c</math> ist. Auf den ganzen Zahl Zahl gibt es also kleine Umgebungen die keinen weiteren weiteren Punkt enthalten während für die rationalen Zahlen jede jede Umgebung eines Punktes unendlich viele weitere Elemente aus aus <math>\mathbb{Q}</math> enthält unabhängig davon wie klein die Zahl Zahl <math>c</math> und damit die Umgebung gewählt wird.

Während die beiden obigen Beispiele den Begriff Begriff des Abstandes verwenden besteht die Leistung der (mengentheoretischen) (mengentheoretischen) Topologie darin das Konzept der Nähe auf den den Kern reduziert zu haben.

Dies gelingt indem man statt der Abstandsfunktion Abstandsfunktion nur noch die Menge aller Umgebungen betrachtet (bzw. (bzw. in einer beliebigen Menge <math>M</math> zu jedem Punkt Punkt einen Satz von Teilmengen auswählt die man als als die Umgebungen dieses Punktes definiert). Man findet so so viele Beispiele von topologischen Räumen auf denen es es nicht mehr möglich ist den Abstand zwischen den den Punkten anzugeben.

Es gibt zwei Gründe die für die die Betrachtung dieser Struktur sprechen: Zunächst gibt es natürliche natürliche Beispiele von Räumen auf denen keine Abstandsfunktion definiert definiert werden kann (z.B. manche Quotientenräume). Andererseits ist man man oft nicht an dem konkreten Abstand interessiert: Man Man stelle sich einen Körper im <math>\mathbb{R}^3</math> vor den den man ausbeult und verformt (ohne ihn aber zu zu zerreißen). Der Abstand zweier Punkte in diesem Objekt Objekt hat sich geändert aber wichtige Grundeigenschaften sind geblieben geblieben z.B. kann man zwei Punkte die man vor vor der Verformung verbinden konnte auch weiterhin verbinden oder oder ein Punkt im Innern des Körpers bleibt im im Innern.

Nicht jede Abbildung zwischen topologischen Räumen ist ist verträglich mit der zusätzlichen Struktur (z.B. gibt es es bijektive Abbildungen zwischen den ganzen und den rationalen rationalen Zahlen aber die beiden Räume sehen ganz verschieden verschieden aus). Eine Abbildung ist in diesem Sinne gutartig gutartig und wird stetig genannt “wenn sie die Nähe erhält”. Eine Eine Funktion <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> die <math>x\ne 0</math> auf <math>0</math> und und <math>0</math> auf <math>1</math> abbildet ist z.B. nicht stetig stetig denn Zahlen die “in der Nähe von <math>0</math> <math>0</math> liegen” werden “weit weg” von <math>f(0)</math> abgebildet.

Die mengentheoretische Topologie erlaubt die Konstruktion von von sehr vielen Pathologien. Dies macht sie in der der größten Allgemeinheit zu einem relativ fruchtlosen Gebiet. Topologen Topologen beschäftigen sich deshalb mit spezielleren Räumen z.B. Mannigfaltigkeiten oder CW-Komplexen.

 

Weiterführende Informationen

Mathematical Subject Classification: 54-XX

Literatur

Weblinks


Bücher zum Thema
Topologie (Mathematik)

————————————————

Dieser Artikel von Wikipedia unterliegt der GNU FDL

————————————————

 

Extrakt von : www.uni-protokolle.de

Posted in DE

Newsletter

Articles récents

Catégories