Topologie ist ein relativ junges mathematisches Gebiet. Sie
entstand etwa in der Mitgggte des 19. Jahrhunderts aus der
komplexen Analysis und aus dem Versuch, Geometrie auf ein
neues Fundament zu stellen (B. Riemann). Der wichtigste
Begriff der Topologie ist der der Mannigfaltigkeit. Das ist
grob gesprochen eine Menge mit der Eigenschaft, daß sie in der
Nähe eines beliebigen Punktes wie eine Kugel im
n-dimensionalen Euklidischen Raum
 aussieht.
Am besten macht man sich diesen Begriff am Beispiel des Kosmos
klar: Man stelle sich vor, man könne mit einem Raumschiff an
eine beliebige Stelle des Kosmos fahren. Wenn man sich dort
umschaut, erhält man den Eindruck, sich im Mittelpunkt einer
großen Kugel zu befinden. Also ist es eine plausible Annahme,
daß der Kosmos mathematisch durch eine 3-dimensionale
Mannigfaltigkeit beschrieben wird, eine Annahme, die auch der
Einsteinschen Relativitätstheorie zugrunde liegt. Wenn man den
Zeitparameter noch dazu nimmt, erhält man eine 4-dimensionale
Mannigfaltigkeit, Raum-Zeit genannt.
Ein Beispiel für eine
2-dimensionale Mannigfaltigkeit ist die Erdoberfläche: Wo
immer wir uns auf der Erde hinstellen, wir haben den Eindruck
in der Mitte einer Scheibe (= 2-dimensionalen Kugel) zu stehen.
Andere Beispiele von 2-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, die
man auch Flächen nennt, erhält man durch die Oberfläche eines
festen Körpers, z.B. eines Ringes, die man Torus nennt (vgl.
Abb.
1). Ein weiteres Beispiel ist das Möbiusband (vgl. Abb.
2).
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...Als relativ
junge Disziplin hat die Topologie die Möglichkeit,
etablierte Methoden aus anderen Bereichen der Mathematik,
insbesondere der Analysis, Algebra und algebraischer
Geometrie, zu verwenden, von der sie reichlich Gebrauch
macht. Es gibt eine Reihe von Querverbindungen zur
theoretischen Physik, die gerade in den letzten Jahren
besonders belebt wurden.
Ein Möbiusband,
auch Möbiusschleife genannt, ist
eine zweidimensionale Fläche in der
Topologie, die nur eine Seite hat.
Das Objekt geht derart in sich selbst
über, dass man, wenn man auf einer der
scheinbar 2 Seiten beginnt, die Fläche
einzufärben, zum Schluss das ganze
Objekt gefärbt hat. Es wurde nach dem
Leipziger Mathematiker und
Astronomen
August Ferdinand Möbius benannt, der
es im Jahr 1858 entdeckte und 1865
erstmals beschrieben hat.
Ein anschauliches
Möbiusband ist leicht herzustellen,
indem man einen längeren Streifen Papier
an beiden Enden ringförmig
zusammenklebt, ein Ende aber vor dem
Zusammenkleben um 180° verdreht. Bei
keinem anderen Winkel ist dies noch
möglich.
Interessant am
Möbiusband ist, dass man an einem Punkt
beginnend, auf ihm fortschreiten kann,
ohne an ein Ende zu gelangen. Eine
Veranschaulichung zum Tausch der Seiten
gibt es unter
Bild:Moebiusband_wikipedia_animation.ogg
eine Animation.
Andere
interessante Effekte entstehen, wenn man
auf dem Band eine Mittelline oder zwei
zur Mittellinie parallele Linien
einzeichnet und das Band längs dieser
Linie(n) aufschneidet. Im ersten Fall,
also beim Durchschneiden entlang der
Mittellinie entsteht ein einmal
verdrillter Ring. Im zweiten Fall
entstehen zwei Objekte: Ein Möbiusband
und ein zweifach verdrillter Ring mit
zwei Seiten und zwei Rändern.
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