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Die
Topologie als Teilgebiet der
Mathematik
beschäftigt sich mit
denjenigen Eigenschaften eines
Gegenstands die unter Verformungen erhalten bleiben. Diese
Eigenschaften
nennt man auch "die Topologie" des Gegenstands. Eine
Menge auf der eine Topologie definiert ist ist
ein
topologischer Raum.
Für die Verwendung des
Begriffs Topologie in
außermathematischem Kontext siehe die Begriffsklärungsseite
Topologie
. Für Begriffserklärungen
aus der mathematischen Topologie
siehe das
Topologie-Glossar
.
Eine
Verformung im Sinne der Topologie
heißt
Homöomorphismus
. Dazu gehört das
Dehnen Stauchen Verbiegen
Verzerren Verdrillen eines Gegenstands; das Zerschneiden
aber nur
wenn man ihn später an genau der Schnittfläche
wieder zusammenklebt. Zum Beispiel haben eine Kugel und
ein Glas dieselbe Topologie; sie sind homöomorph. Ebenso
sind ein
Torus
und eine einhenkelige
Tasse homöomorph.
Der
axiomatische Aufbau der modernen Topologie
beruht auf dem grundlegenen Konzept der "Nachbarschaft"
formalisiert
als offene Umgebung . Neben offen und
abgeschlossen gibt es als weitere fundamentale
topologische
Attribute stetig kompakt separabel zusammenhängend dicht
abzählbar . Neben der
Algebra
kann die Topologie als
zweiter Stützpfeiler
für alle anderen Felder der Mathematik angesehen werden;
sie ist besonders wichtig für die
Geometrie
die Analysis (
Maß-
und Integrationstheorie)
die
Funktionalanalysis
die Theorie der
Lie-Gruppen
die
Graphentheorie
usw.
Untergebiete der Topologie sind die
algebraische Topologie
die
Differentialtopologie.
Die
Lösung des
Sieben-Brücken-Problems
von Königsberg
durch
Leonhard Euler
im Jahr
1736
gilt als die erste
topologische und
zugleich als die erste
graphentheoretische
Arbeit in der
Geschichte der Mathematik.
Maurice Fréchet führte
1906
den
metrischen Raum
ein.
Georg Cantor
befasste sich mit den
Eigenschaften offener
und geschlossener Intervalle untersuchte Grenzprozesse und
begründete dabei
zugleich die moderne Topologie und die
Mengentheorie
. Die Topologie ist der
erste Zweig
der Mathematik der konsequent mengentheoretisch formuliert
wurde -
und gab dabei umgekehrt den Anstoß zur Ausformung
der Mengentheorie.
Felix Hausdorff
prägte
1914
den Begriff "topologischer
Raum" und definierte
den heute so genannten
Hausdorff-Raum
. Die heutige
Definition eines topologischen Raums
wurde
1922
von
Kazimierz Kuratowski
eingeführt.
Die
Topologie formalisiert den Begriff der
(besser: Umgebung. Oder: infinitesimale Nähe).
Als Beispiel betrachte man z.B. die
Menge der
ganzen Zahlen
<math>\mathbb{Z}</math>
und die der
rationalen Zahlen
<math>\mathbb{Q}</math>.
Da es
bijektive Abbildungen
zwischen
<math>\mathbb{Z}</math> und <math>\mathbb{Q}</math> gibt
sind
sie als Mengen ununterscheidbar. Aber die topologische
Struktur
sieht für beide Objekte anders aus: In <math>\mathbb{Z}</math>
liegen alle Punkte diskret d.h. im Gegensatz zu
<math>mathbb{Q}</math> gibt es um jeden Punkt eine kleine
Umgebung in der kein weiterer Punkt liegt. Natürlich
kann man die ganzen und die rationalen Zahlen
auch durch ihre algebraische Struktur unterscheiden.
In unserem Beispiel kann man für
je zwei Punkte aus <math>\mathbb{Z}</math> oder <math>\mathbb{Q}</math>
den
Abstand angeben
. Eine
Umgebung
eines
Punktes <math>p</math> besteht mindestens aus
all den Punkten deren Abstand zu <math>p</math> kleiner
als eine Zahl <math>c</math> ist. Auf den ganzen
Zahl gibt es also kleine Umgebungen die keinen
weiteren Punkt enthalten während für die rationalen Zahlen
jede Umgebung eines Punktes unendlich viele weitere Elemente
aus <math>\mathbb{Q}</math> enthält unabhängig davon wie
klein die
Zahl <math>c</math> und damit die Umgebung gewählt wird.
Während die beiden obigen Beispiele den
Begriff des Abstandes verwenden besteht die Leistung der
(mengentheoretischen) Topologie darin das Konzept der Nähe
auf
den Kern reduziert zu haben.
Dies gelingt indem man
statt der
Abstandsfunktion nur noch die Menge aller Umgebungen
betrachtet
(bzw. in einer beliebigen Menge <math>M</math> zu jedem
Punkt einen Satz von Teilmengen auswählt die man
als die Umgebungen dieses Punktes definiert). Man findet
so viele Beispiele von topologischen Räumen auf denen
es nicht mehr möglich ist den Abstand zwischen
den Punkten anzugeben.
Es gibt zwei Gründe die für
die Betrachtung dieser Struktur sprechen: Zunächst gibt es
natürliche Beispiele von Räumen auf denen keine
Abstandsfunktion
definiert werden kann (z.B. manche Quotientenräume).
Andererseits ist
man oft nicht an dem konkreten Abstand interessiert:
Man stelle sich einen Körper im <math>\mathbb{R}^3</math>
vor
den man ausbeult und verformt (ohne ihn aber
zu zerreißen). Der Abstand zweier Punkte in diesem
Objekt hat sich geändert aber wichtige Grundeigenschaften
sind
geblieben z.B. kann man zwei Punkte die man
vor der Verformung verbinden konnte auch weiterhin verbinden
oder ein Punkt im Innern des Körpers bleibt
im Innern.
Nicht jede Abbildung zwischen
topologischen Räumen
ist verträglich mit der zusätzlichen Struktur (z.B. gibt
es bijektive Abbildungen zwischen den ganzen und den
rationalen Zahlen aber die beiden Räume sehen ganz
verschieden aus). Eine Abbildung ist in diesem Sinne
gutartig und wird
stetig
genannt "wenn
sie die Nähe erhält".
Eine Funktion <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> die
<math>x\ne 0</math> auf <math>0</math>
und <math>0</math> auf <math>1</math> abbildet ist z.B.
nicht
stetig denn Zahlen die "in der Nähe von
<math>0</math> liegen" werden "weit weg" von
<math>f(0)</math> abgebildet.
Die mengentheoretische Topologie erlaubt
die Konstruktion
von sehr vielen Pathologien. Dies macht sie in
der größten Allgemeinheit zu einem relativ fruchtlosen
Gebiet.
Topologen beschäftigen sich deshalb mit spezielleren Räumen
z.B.
Mannigfaltigkeiten
oder CW-Komplexen.
Mathematical
Subject Classification:
54-XX
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Topologie (Mathematik)
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