Die Topologie als Teilgebiet der Mathematik beschäftigt sich mit denjenigen Eigenschaften eines
Gegenstands die unter Verformungen erhalten bleiben. Diese Eigenschaften
nennt man auch "die Topologie" des Gegenstands. Eine
Menge auf der eine Topologie definiert ist ist
ein topologischer Raum. Für die Verwendung des Begriffs Topologie in
außermathematischem Kontext siehe die Begriffsklärungsseite Topologie . Für Begriffserklärungen aus der mathematischen Topologie
siehe das Topologie-Glossar . Eine Verformung im Sinne der Topologie
heißt Homöomorphismus . Dazu gehört das Dehnen Stauchen Verbiegen
Verzerren Verdrillen eines Gegenstands; das Zerschneiden aber nur
wenn man ihn später an genau der Schnittfläche
wieder zusammenklebt. Zum Beispiel haben eine Kugel und
ein Glas dieselbe Topologie; sie sind homöomorph. Ebenso
sind ein Torus und eine einhenkelige Tasse homöomorph. Der axiomatische Aufbau der modernen Topologie
beruht auf dem grundlegenen Konzept der "Nachbarschaft" formalisiert
als offene Umgebung . Neben offen und abgeschlossen gibt es als weitere fundamentale topologische
Attribute stetig kompakt separabel zusammenhängend dicht abzählbar . Neben der Algebra kann die Topologie als zweiter Stützpfeiler
für alle anderen Felder der Mathematik angesehen werden;
sie ist besonders wichtig für die Geometrie die Analysis ( Maß- und Integrationstheorie) die Funktionalanalysis die Theorie der Lie-Gruppen die Graphentheorie usw. Untergebiete der Topologie sind die algebraische Topologie die Differentialtopologie. Die Lösung des Sieben-Brücken-Problems von Königsberg durch Leonhard Euler im Jahr 1736 gilt als die erste topologische und
zugleich als die erste graphentheoretische Arbeit in der Geschichte der Mathematik.
Maurice Fréchet führte 1906 den metrischen Raum ein. Georg Cantor befasste sich mit den Eigenschaften offener
und geschlossener Intervalle untersuchte Grenzprozesse und begründete dabei
zugleich die moderne Topologie und die Mengentheorie . Die Topologie ist der erste Zweig
der Mathematik der konsequent mengentheoretisch formuliert wurde -
und gab dabei umgekehrt den Anstoß zur Ausformung
der Mengentheorie. Felix Hausdorff prägte 1914 den Begriff "topologischer Raum" und definierte
den heute so genannten Hausdorff-Raum . Die heutige Definition eines topologischen Raums
wurde 1922 von Kazimierz Kuratowski eingeführt. Die Topologie formalisiert den Begriff der
(besser: Umgebung. Oder: infinitesimale Nähe). Als Beispiel betrachte man z.B. die
Menge der ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> und die der rationalen Zahlen <math>\mathbb{Q}</math>. Da es bijektive Abbildungen zwischen <math>\mathbb{Z}</math> und <math>\mathbb{Q}</math> gibt sind
sie als Mengen ununterscheidbar. Aber die topologische Struktur
sieht für beide Objekte anders aus: In <math>\mathbb{Z}</math>
liegen alle Punkte diskret d.h. im Gegensatz zu
<math>mathbb{Q}</math> gibt es um jeden Punkt eine kleine
Umgebung in der kein weiterer Punkt liegt. Natürlich
kann man die ganzen und die rationalen Zahlen
auch durch ihre algebraische Struktur unterscheiden. In unserem Beispiel kann man für
je zwei Punkte aus <math>\mathbb{Z}</math> oder <math>\mathbb{Q}</math> den
Abstand angeben . Eine Umgebung eines Punktes <math>p</math> besteht mindestens aus
all den Punkten deren Abstand zu <math>p</math> kleiner
als eine Zahl <math>c</math> ist. Auf den ganzen
Zahl gibt es also kleine Umgebungen die keinen
weiteren Punkt enthalten während für die rationalen Zahlen
jede Umgebung eines Punktes unendlich viele weitere Elemente
aus <math>\mathbb{Q}</math> enthält unabhängig davon wie klein die
Zahl <math>c</math> und damit die Umgebung gewählt wird.
Während die beiden obigen Beispiele den
Begriff des Abstandes verwenden besteht die Leistung der
(mengentheoretischen) Topologie darin das Konzept der Nähe auf
den Kern reduziert zu haben. Dies gelingt indem man statt der
Abstandsfunktion nur noch die Menge aller Umgebungen betrachtet
(bzw. in einer beliebigen Menge <math>M</math> zu jedem
Punkt einen Satz von Teilmengen auswählt die man
als die Umgebungen dieses Punktes definiert). Man findet
so viele Beispiele von topologischen Räumen auf denen
es nicht mehr möglich ist den Abstand zwischen
den Punkten anzugeben. Es gibt zwei Gründe die für
die Betrachtung dieser Struktur sprechen: Zunächst gibt es
natürliche Beispiele von Räumen auf denen keine Abstandsfunktion
definiert werden kann (z.B. manche Quotientenräume). Andererseits ist
man oft nicht an dem konkreten Abstand interessiert:
Man stelle sich einen Körper im <math>\mathbb{R}^3</math> vor
den man ausbeult und verformt (ohne ihn aber
zu zerreißen). Der Abstand zweier Punkte in diesem
Objekt hat sich geändert aber wichtige Grundeigenschaften sind
geblieben z.B. kann man zwei Punkte die man
vor der Verformung verbinden konnte auch weiterhin verbinden
oder ein Punkt im Innern des Körpers bleibt
im Innern. Nicht jede Abbildung zwischen topologischen Räumen
ist verträglich mit der zusätzlichen Struktur (z.B. gibt
es bijektive Abbildungen zwischen den ganzen und den
rationalen Zahlen aber die beiden Räume sehen ganz
verschieden aus). Eine Abbildung ist in diesem Sinne
gutartig und wird stetig genannt "wenn sie die Nähe erhält".
Eine Funktion <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> die <math>x\ne 0</math> auf <math>0</math>
und <math>0</math> auf <math>1</math> abbildet ist z.B. nicht
stetig denn Zahlen die "in der Nähe von
<math>0</math> liegen" werden "weit weg" von <math>f(0)</math> abgebildet.
Die mengentheoretische Topologie erlaubt die Konstruktion
von sehr vielen Pathologien. Dies macht sie in
der größten Allgemeinheit zu einem relativ fruchtlosen Gebiet.
Topologen beschäftigen sich deshalb mit spezielleren Räumen z.B.
Mannigfaltigkeiten oder CW-Komplexen. Mathematical Subject Classification: 54-XX
Bücher zum Thema Topologie (Mathematik)
------------------------------------------------ Dieser Artikel von Wikipedia unterliegt der GNU FDL ------------------------------------------------ Extrakt von : www.uni-protokolle.de | 
