La topologie étudie les relations du lieu avec le discours, c'est une rhétorique ( espace de la  castration), non un code; au carrefour du dire (de la structure littorale de la lettre) et du geste (dessin) métaphorique, c'est une esthétique; c'est la structure même. Elle veut transmettre ce qu'il y a comme raison du désir, désir lui même irrationnel, qui produit le trouble dans la topologie. La topologie du sujet est la mise en suspens de la fonction phallique.

La psychanalyse de Freud et de Lacan est la dernière phase de la psychose sociale (pour Freud elle est en lien au rejet de l'homosexualité; pour Lacan en lien à la xénophobie et à l'antisémitisme) dont nous sommes sujet et la topologie est  fermeture pulsative du schéma de Freud.(Appareil psychique, schéma L, lettre 52). L'exclusion de la sexualité et de l'inconscient fondent le pacte social qui génère, légitime et entretient  la violence.

[Rappel: la psychanalyse de Freud et de Lacan (la 'non-analyse') est la peste même et non une pastorale, (même sur Internet !) et la politique des malins agitant le chiffon rouge ne résoudra rien, bien au contraire, ne renforçant que le problème, ne serrant que le nœud!.)]

La psychanalyse construit l'objet a et est achevée avec l'objet a. (1)
La psychanalyse est rationnelle, fausse et irréfutable; elle est résolution; tient de la marchandise et du symptôme; est une affaire de raison pas forcément scientifique. Elle met en acte la structure de l'involution signifiante (copule qui unit l'identique avec le différent), soit passer de l'unilatère au bilatère en raison d'un bord qui ne fonctionne pas très bien dans l'appareil psychique.

La topologie permet de rendre compte de la psychanalyse à l'extérieur de la psychanalyse.
La topologie présente les déchets de la théorie scientifique et mathématique.
Elle se réfère à la structure du langage et non à la mesure (réservée aux technocrates), elle littéralise un problème géométrique sans recourir au nombre,
Si le sujet est l'effet du signifiant, si l'Autre est le site préalable du pur sujet du signifiant, le circuit de la parole et sa combinatoire sur le graphe du désir de Lacan, est un lieu d'inscription, où s'appuie le grand Autre.

Le sujet est questionné par la topologie car il a à répondre à des problèmes de logique que la Logique Canonique Classique (LCC) délaisse. Comment en effet résoudre les problèmes de la  relation du sujet à l'autre ou à l'Autre; à son contexte; à la notion  d'intérieur, d'extérieur; d'intrinsèque, d'extrinsèque; de local et de global; de la différenciation et de l'identification. 
La LCC est fondée sur le principe de non contradiction et du tiers exclu.
La logique modifiée (moebienne), tout en conservant une rigueur d'écriture, rend compte des paradoxes plutôt que de les ignorer.

La topologie nécessite la notion de dimension comme invariant topologique et non métrique. Nous devons considérer l'objet dans son encombrement  et qu'une dimension est constituée d'autres dimensions. C'est la coupure qui disjoint un objet en deux parties. Nous percevons le monde par notre rétine sur une surface en deux dimensions (et non en trois). La notion de dimension permet le passage de l'intrinsèque à l'extrinsèque, distinction qui permet à un sujet (dans l'espace intrinsèque) de prendre son corps propre comme objet (dans l'espace extrinsèque), ce qui qualifie le narcissisme; où permet de montrer l'identité de deux situations d'apparence distinctes.

Topologie des surfaces (en rapport à l'acte de l'analyste, à la séance, aux effets sur la réalité psychique du sujet, aux effets de la parole, des mots); topologie des nœuds (concerne la série d'actes qui constituent la direction de la cure, la relation de transfert, sa durée, son évolution, l'articulation entre les différents éléments de la structure; topologie de la coupure(comment se fabrique la coupure) , topologie de la structure (comment s'articule les coupures), topologie du transfert !.
Les opérations de transformation continue, de coupure, de redoublement, de retournement sur les surfaces créent le raboutage, la suppléance du nœud.
Retirer le nœud de la psychanalyse et  c'est le délire, le nœud est l'accomplissement d'une coupure. Les mouvements du discours c'est les nœuds. Le nœud est une machine simple, presque pas noué,  n'est pas une écriture, il est en lien avec les pulsions. il est introduit en psychanalyse par  la 3eme dimension, il n'y a pas de nœud en dimension deux.
Le nœud consiste entre différentes positions extrinsèques et s'efface dans certaines situations intrinsèques. Cette disparition où pulsation est ce qui constitue la fonction dite paternelle.
Chaînes et nœuds se proposent comme une pratique couvrant l'ensemble du spectre de l'écriture, du mathème au poème.

Le plongement est une mise à plat tout en respectant la dimension (les dessus dessous), représentation des nœuds.
L'immersion est une mise dans le plan et produit des graphes.