Qu'est ce que la Topologie ?       Une réponse plus simple pour les débutants

La Topologie est une matière des mathématiques.

(Extrait du livre "ETOFFE : Les surfaces topologiques intrinsèques" de Jean-Michel VAPPEREAU, (psychanalyste) - éd : T.E.E. Page 37).

"La théorie classique des surfaces topologiques est une théorie des surfaces intrinsèques…

La théorie des surfaces topologiques est dite intrinsèque parce qu'elle distingue ou identifie les objets en fonction de caractéristiques, ou encore d'invariants, dont la définition ne dépend pas de la situation de la surface dans un espace de plus haute dimension.

Ces caractéristiques ne varient pas lorsque nous déformons la surface ou la transformons dans l'espace où elle est disposée...

Ces invariants sont donc aussi invariants au travers de transformations extrinsèques…

Pour donner une définition intuitive de ces notions, nous reproduisons un court passage de la thèse de A. Lautmann, qui a su très tôt y trouver un intérêt :

 

"Les propriétés intrinsèques d'un être sont indépendantes de la position de cet être dans l'espace, elles sont même indépendantes de l'existence d'autres êtres : elles appartiennent en propre à l'être qu'on envisage.

Les propriétés de relation (extrinsèques) ne peuvent au contraire être attribuées à un être mathématique que si l'on se réfère à autre chose qu'à lui ; c'est tantôt un système de référence commun à plusieurs êtres ; tantôt un espace ambiant dont les propriétés peuvent être définies indépendamment de tout contenu, tantôt encore un certain nombre d'autres êtres qui soutiennent avec le premier des relations de voisinage, d'incidence, d'orientation, etc."…

La topologie introduit à première vue une variation entre l'intrinsèque et le standard extrinsèque. Cette variation se noue selon certains traits de structure qui se répètent. De ces invariants, le sujet se saisit de la structure".

En ce qui nous concerne, nous rajouterons que la topologie traite du qualitatif et non du quantitatif. Rien ne s'y mesure. Les figures sont élastiques, comme caoutchouteuses. Chaque figure est supposée sans cesse avoir sa forme la plus expansée mais pas forcément ; ainsi le cercle peut tout aussi bien y être carré ou triangulaire un temps.

C'est surtout dans l'usage que nous en faisons, une étude de la dimension.

• Les principaux outils de la Topologie appliquée à la psychanalyse et à l'illettrisme

(Extrait de : Groupe de recherche en topologie computationnelle de  l'Université de Sherbrooke ! )

• Qu'est-ce que la Topologie computationnelle?

"Les machines un jour pourront résoudre tous les problèmes,
mais jamais aucune d'entre elles ne pourra en poser un !"
Albert Einstein 1879-1955

Topologie, appelée antérieurement geometria situs (géométrie de position) est l’étude des objets géométriques axée sur leurs propriétés invariantes par rapport aux transformations continues. Du point de vue de la topologie, le ballon de soccer et le ballon de football américain représentent des objets équivalents car l'un peut être transformé de façon continue à l'autre. Par contre, la boule de quille est topologiquement distincte : elle est solide contrairement aux deux premiers qui ont l'intérieur vide. Savoir comparer des objets selon ces propriétés appelées propriétés topologiques joue un rôle important en géométrie, analyse, théorie des graphes et, indirectement, dans plusieurs problèmes des sciences appliquées tels que, par exemple, la reconnaissance automatisée des images numériques. La topologie algébrique ou combinatoire a pour but de quantifier des propriétés topologiques d’intérêt particulier comme, par exemple, le nombre de composantes connexes, de ‘boucles’, ou des ‘trous’, par le calcul de structures algébriques telles que les groupes d’homologie.

Topologie comme discipline mathématique a émergé au début du 20e siècle à travers les travaux de Cantor, Fréchet et Hausdorff mais on retrace, lors des siècles précédents, des éléments de la pensée topologique dans les oeuvres de Leibniz, Euler, Gauss, Riemann et Poincaré. La topologie algébrique fut initiée par Poincaré vers la fin de 19e siècle mais elle gagne son nom par les oeuvres d’Eilenberg et Steenrod qui ont reconnu l’homologie comme exemple d’un functeur traduisant des problèmes topologiques dans le langage d’algèbre. Parti des applications à la géométrie, à l'analyse et aux équations différentielles, ce domaine a évolué vers l’abstraction et l'élitisme pour enfin regagner de l'intérêt en dehors des sciences mathématiques...