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Préambule

À l'automne 2004 a démarré un atelier de topologie. Cet atelier se voulait un développement des concepts lacaniens ayant une représentation topologique. Ce qui m'était demandé par les participants était de faire le moins d'hypothèses possibles sur un savoir qui préexisterait chez eux en mathématiques. C'est avec cette gageure en poche que j'ai débuté cet atelier.

J'ai choisi de partir du schéma de la ``lettre 52'' de Freud à Fliess. Ce choix m'a, entre autres, été dicté par les travaux de Jean Michel Vappereau [Vap97]. Ce schéma est présenté figure 1. C'est à partir de cette écriture que Lacan nous a conduit au cross-cap -- présentation d'une immersion du plan projectif dans un espace 3D comme montré figure 2. Sur celui-ci Lacan inscrit le graphe de la lettre 52 qui figure le cheminement de la perception d'un objet, à la conscience qu'on en acquiert. Ce schéma complexe est représenté à la figure 3.

Le moins qu'on puisse dire est que la lecture de ce schéma n'est pas simple!

Il est tant vrai que c'est en tentant de transmettre que l'on enseigne à soi-même que, frappé par la complexité de la présentation du cross-cap, j'ai été amené à présenter le plan projectif d'un façon beaucoup plus simple à attraper pour nous qui évoluons dans un espace à deux ou trois dimensions seulement. Ce que je présente ici a été une découverte pour moi en même temps que je tentais de la transmettre aux participants à l'atelier. Les principales avancées sont les suivantes :

 

• Cette présentation envoie à l'infini ce qui ne se conçoit que dans la dimension quatre, à savoir la zone asphérique du plan projectif.
• Elle nous met sous les yeux un objet simple en deux dimensions qui est une simple pastille.
• De plus cette pastille figure l'objet a de Lacan.
• Elle présente simplement le trajet qui va de la perception d'un objet de la réalité à la conscience qu'on en acquiert.
• Cette figuration présentifie la transformation qu'on opère en formant un objet du désir à partir d'un objet de la réalité.
• Enfin cette présentation rend compte des trous que figure Lacan dans le schéma I [Lac66], page 571] de la psychose.

Figure 1: La lettre 52 à Fliess, orientée par Lacan

On trouvera ci-après un résumé du parcours qui alimente cet atelier depuis le quatrième trimestre 2004.

Détour par la géométrie du plan projectif

Je reprends ici les éléments d'articles plus anciens [Sib95] [Sib96] [Sib05]. Le plan projectif est un objet qui date des découvertes de la perspective par Léon B. Alberti et Filippo Brunelleschi à la Renaissance. C'est la formalisation mathématique des points de fuites et des parallèles qui se rejoignent à l'infini. Sur la figure 4, on voit une figuration du plan euclidien complétée par une série de points projectifs. Chaque point projectif correspond à une direction de parallèle du plan. Tous les points projectifs construisent une droite projective renvoyée à l'infini. Nous verrons plus loin que Lacan nomme cette droite ``la ligne sans points''.

Ainsi le plan projectif peut se penser comme l'assemblage d'une zone sphérique, le plan euclidien, et d'une zone asphérique, mœbienne, la droite projective. Ceci est détaillé dans l'article mentionné plus haut. Sachez que, comme c'est indiqué sur la figure 5, une lettre F qui parcourt le plan jusqu'à ses confins projectifs revient à l'envers comme une main droite devenant main gauche, ou bien revient sur l'autre face du disque euclidien, si celui-ci est considéré comme une pastille opaque.

C'est cela qu'il y a à retenir pour la suite:

 

Un objet qui est sur un coté d'une pastille complété d'une droite projective, et qui parcourt ce plan projectif revient sur l'autre face, comme inversé.

Figure 2: Le cross-cap

 

Figure 3: Le schéma R porté sur un cross-cap

 

Figure 4: Le plan projectif

 

Figure 5: Le devenir du F

 

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L'objet a, une pastille

Le schéma de la figure 3, est isomorphe à une pastille -- biface, orientable comme telle -- cousue bord à bord à un anneau de Mœbius -- unilatère, non-orientable comme tel. Trois zones sont repérées sur ce schéma.

1. La zone mœbienne qui figure le Réel.
2. Une face de la pastille qui figure l'Imaginaire.
3. Une face de la pastille qui figure le Symbolique.

Il est notable que l'ensemble des vecteurs du graphe de ce schéma ont lieu soit sur les faces de la pastille soit sur son bord. Rien n'est observable dans la zone mœbienne du réel.

Nous allons donc représenter ce plan projectif vu depuis la pastille. Ce point de vue est présenté dans la figure 6 ci dessous. On y voit les deux faces de la pastille, artificiellement séparées pour des commodités de lecture, avec une face S et une face I. le reste est la zone mœbienne du Réel qui se poursuit à l'infini -- zone R.

 

Objet de la réalité / objet du désir

Le parcours de ce graphe nous permet de matérialiser comment un objet réel de perception devient un objet de désir et donc par là même une instance d'objet a.

 

 

Figure 7: La pastille dans la psychose

On constate ainsi simplement dans le schéma 7 que le trajet de P à Cs n'est plus possible. Le sujet ne peut plus différencier un objet de la réalité et sa propre production interne. Il est alors conduit inexorablement à halluciner les signifiants de son réservoir d'expériences.

 

Figure 8: Le schéma I

 

 

Voir en mouvement le processus de repliement du schéma de Freud, par Jean-Michel Vappereau :

sur  gaogoa.free.fr

Visitez aussi nos autres pages :

Forme grammaticale et forme logique, de Bertrand Russell

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